Phương pháp giải:

- Xác định chiều cao của khối chóp: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, một đường nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

- Tìm mặt phẳng chứa\(\left( P \right)\) đường thẳng \(AM\) và song song với \(SC\), khi đó \(d\left( {AM;SC} \right) = d\left( {C;\left( P \right)} \right)\).

- Đổi \(d\left( {C;\left( P \right)} \right)\) sang khoảng cách từ chân đường cao của khối chóp đến \(\left( P \right)\).

- Xác định khoảng cách, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), do tam giác \(SAB\) đều nên \(SI \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\), khi đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\)  \( \Rightarrow MN\parallel SC \Rightarrow SC\parallel \left( {AMN} \right).\)

\( \Rightarrow d\left( {AM;SC} \right) = d\left( {SC;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {AMN} \right)} \right)\).

(do \(IC\parallel AN \Rightarrow IC\parallel \left( {AMN} \right)\)).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(IK \bot AN\,\,\left( {K \in AN} \right).\)

Gọi \(AN \cap ID = H \Rightarrow H\) là trung điểm của \(ID\) (do \(ADNI\) là hình bình hành).

\( \Rightarrow MH\) là đường trung bình của tam giác \(SID\) nên \(MH\parallel SI \Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow MH \bot IK.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IK \bot AN\\IK \bot MH\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {AMN} \right)\). Do đó \(d\left( {I;\left( {AMN} \right)} \right) = IK.\)

Tam giác \(AIN\) vuông tại \(I\) có đường cao \(IK\) nên

\(\dfrac{1}{{I{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{I^2}}} + \dfrac{1}{{I{N^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow IK = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\)

Vậy \(d\left( {I;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\) hay \(d\left( {AM;SC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn C.