Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Biến đổi \(x,\) thay giá trị \(x = \frac{8}{{3 + \sqrt 5 }}\,\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức \(P\) rồi tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x \ge 0;x \ne 4\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}} \right):\left( {2 - \frac{{2\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\\ = \left( {\frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right):\left( {\frac{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{2\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}}} \right)\\ = \frac{{3x - 6\sqrt x  - x - 2\sqrt x  + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}:\frac{{2\sqrt x  + 4 - 2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}}\\ = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}.\left( {\sqrt x  + 2} \right) = \frac{{2x}}{{\sqrt x  - 2}}.\end{array}\)

Ta có : \(x = \frac{8}{{3 + \sqrt 5 }} = \frac{{8\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{{{3^2} - 5}} = 2\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\,\,\,\,\left( {tm} \right).\)

\( \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {2\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}  = \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 5  - 1} \right| = \sqrt 5  - 1.\)  

Khi đó ta có:  \(P = \frac{{2.\left( {6 - 2\sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt 5  - 1 - 2}} = \frac{{2.\left( {6 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5  + 3} \right)}}{{ - 4}} =  - 4.\)