Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Biến đổi $x,$ thay giá trị $x = 7 - 4\sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)$ vào biểu thức $P$ rồi tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn $P.$

Điều kiện: $x \ge 0;x \ne 1$

$\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{2\sqrt x  - 2}}{{x\sqrt x  - \sqrt x  + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {x - 1} \right) + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}}\\ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}$

b) Tính giá trị của P khi $x = 7 - 4\sqrt 3$

Khi $x = 7 - 4\sqrt 3  = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\,\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3$

Ta có: $P = \frac{{2 - \sqrt 3  - 1}}{{2 - \sqrt 3  + 1}} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{{3 - \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{{{3^2} - 3}} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{6} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}.$