Phương pháp giải:

+) Đặt điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu, biến đổi các biểu thức sau đó rút gọn biểu thức đã cho.

+) Xét hiệu \(P - 3,\) so sánh hiệu đó với \(0\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn \(P.\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 1;x > 0\)

\(\begin{array}{l}P = 1:\left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x - 1}}} \right)\\ = 1:\left( {\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right)\\ = 1:\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) + {{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\ = 1:\frac{{x\sqrt x  + x + 2\sqrt x  + 2 + x\sqrt x  + x - \sqrt x  - 1 - \left( {x\sqrt x  + x + \sqrt x  + x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{x\sqrt x  - \sqrt x }}\\ = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\ = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

 b) So sánh \(P\)  với \(3.\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 1;x > 0\)

Xét  hiệu:  \(P - 3 = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} - 3 = \frac{{x + \sqrt x  + 1 - 3\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\)

Với \(x \ne 1;x > 0\) ta có: \(\sqrt x  > 0;\,\,{\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} > 0 \Rightarrow P - 3 > 0 \Leftrightarrow P > 3.\)