Phương pháp giải:

- Lấy đạo hàm hai vế biểu thức \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), rút \(f'\left( x \right)\) theo \(f\left( x \right)\).

- Đặt \(t = f\left( x \right)\), sử dụng phương pháp đổi biến

Lời giải chi tiết:

Lấy đạo hàm hai vế biểu thức \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) ta có:

\(3{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) + f'\left( x \right) = 1\)\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{3{f^2}\left( x \right) + 1}}\).

Đặt \(t = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow dt = f'\left( x \right)dx = \dfrac{1}{{3{f^2}\left( x \right) + 1}}dx\)

\( \Rightarrow dx = \left[ {3{f^2}\left( x \right) + 1} \right]dt = \left( {3{t^2} + 1} \right)dt\).

Đổi cận:

Với \(x = 0 \Rightarrow t = f\left( 0 \right)\).

Ta có: \({f^3}\left( 0 \right) + f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow t = 0\).

Với \(x = 2 \Rightarrow t = f\left( 2 \right)\).

Ta có \({f^3}\left( 2 \right) + f\left( 2 \right) = 2 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow t = 1\).

Khi đó ta có: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {t\left( {3{t^2} + 1} \right)dt}  = \dfrac{5}{4}\).

Chọn D.