Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có độ dài các cạnh \(SA = BC = x\), \(SB = AC = y\), \(SC = AB = z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 36\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:
- A \(6\)
- B \(2\sqrt 6 \)
- C \(3\)
- D \(\sqrt 6 \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều: \(V = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( { - {x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - {z^2}} \right)} \)
\( = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {36 - 2{x^2}} \right)\left( {36 - 2{y^2}} \right)\left( {36 - 2{z^2}} \right)} \)
Áp dụng BĐT Cô si ta có \(\left( {36 - 2{x^2}} \right)\left( {36 - 2{y^2}} \right)\left( {36 - 2{z^2}} \right)\)\( \le {\left( {\dfrac{{36 - 2{x^2} + 36 - 2{y^2} + 36 - 2{z^2}}}{3}} \right)^3}\)
\( = {\left( {\dfrac{{36.3 - 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{36.3 - 2.36}}{3}} \right)^3} = 1728\)
\( \Rightarrow V \le \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}.\sqrt {1728} = 2\sqrt 6 \)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 2\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{\max }} = 2\sqrt 6 \)
Chọn B.