Phương pháp giải:

- Tính thể tích khối chóp \(A.HMN\).

- Tính diện tích tam giác \(AMN\).

- Tính khoảng cách \(d\left( {H,\left( {AMN} \right)} \right)\) dựa vào thể tích và diện tích vừa tính được ở trên.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {S_{A'MN}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{S_{A'B'C'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)

\(\begin{array}{l}{S_{C'HN}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.{S_{C'A'B'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\\{S_{B'.HM}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.{S_{B'A'C'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{24}}\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_{HMN}} = {S_{A'B'C'}} - {S_{A'MN}} - {S_{C'HN}} - {S_{B'.HM}}\)\( = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{24}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\)

Thể tích \({V_{A.HMN}} = \dfrac{1}{3}AA'.{S_{HMN}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) 

Lại có: \(M{N^2} = A'{M^2} + A'{N^2} - 2A'M.A'N\cos {60^0}\)

 \( = \dfrac{{4{a^2}}}{9} + \dfrac{{{a^2}}}{4} - 2.\dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{13{a^2}}}{{36}}\)\( \Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{6}\)

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A'\) lên \(MN\) thì \(MN \bot \left( {A'AK} \right) \Rightarrow MN \bot AK\)

\(A'K = \dfrac{{2{S_{A'MN}}}}{{MN}} = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\dfrac{{a\sqrt {13} }}{6}}} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)\( \Rightarrow AK = \sqrt {AA{'^2} + A'{K^2}}  = \sqrt {4{a^2} + \dfrac{{39{a^2}}}{{169}}}  = \dfrac{{a\sqrt {715} }}{{13}}\)

\( \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}AK.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {715} }}{{13}}.\dfrac{{a\sqrt {13} }}{6} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {55} }}{{12}}\)

\( \Rightarrow d\left( {H,\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{H.AMN}}}}{{{S_{AMN}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {55} }}{{12}}}} = \dfrac{{3a\sqrt {165} }}{{110}}\)

Chọn D.