Phương pháp giải:

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

Với mọi  \(k \in \mathbb{N}\) ta có:  \(k = 3t,\,k = \,3t + 1,\,\,k = \,3t + 2\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)

Nếu \(k = 3t\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow k + 99 = 3t + 99 = 3\left( {t + 33} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Nếu \(k = 3t + 1\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow k + 77 = 3t + 1 + 77\)\( = 3t + 78 = 3\left( {t + 26} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Nếu \(k = 3t + 2\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow k + 1 = 3t + 2 + 1\)\( = 3t + 3 = 3\left( {t + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Do đó trong ba số \(k + 1,\,\,k + 77,\,\,k + 99\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) luôn có một số chia hết cho 3.

Khi đó, để \(k + 1,\,\,k + 77,\,\,\,k + 99\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) cùng là số nguyên tố thì phải có một số bằng 3

Mà \(3 < k + 77 < k + 99\)\( \Rightarrow k + 1 = 3 \Rightarrow k = 2\)

Thử lại \(k = 2 \Rightarrow k + 1 = 3,\,\,\,k + 77 = 79,\,\,\,k + 99 = 101\) đều là số nguyên tố.

Vậy \(k = 2.\)

Chọn B.