Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn \(1\), chỉ có \(2\) ước là \(1\) và chính nó.

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.

+) Tính chất: Nếu \(a\) chia hết cho số nguyên tố \(p\) và \(a > p\) thì \(a\) là hợp số.

Lời giải chi tiết:

+) Với\(p = 2\) ta có: \(p + 6 = 8\) không phải là số nguyên tố.

\( \Rightarrow p = 2\) không thỏa mãn.

+) Với \(p = 3 \Rightarrow p + 6 = 3 + 6 = 9\) không phải là số nguyên tố.

\( \Rightarrow p = 3\) không thỏa mãn.

Vậy \(p = 2,p = 3\) không thỏa mãn.

+) Với \(p = 5\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p + 6 = 5 + 6 = 11\\p + 8 = 5 + 8 = 13\\p + 12 = 5 + 12 = 17\\p + 14 = 5 + 14 = 19\end{array} \right.\)

Các số \(11;\,\,\,13;\,\,\,17;\,\,19\) đều là các số nguyên tố.

\( \Rightarrow p = 5\) thỏa mãn.

+) Với \(p > 5 \Rightarrow p = 5k + 1,\,\,\,p = 5k + 2,\,\,\)\(p = 5k + 3,\,\,p = 5k + 4\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Nếu \(p = 5k + 1\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)\( \Rightarrow p + 14 = 5k + 1 + 14\)\( = 5k + 15 = 5\left( {k + 3} \right) > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số.

Nếu \(p = 5k + 2\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)\( \Rightarrow p + 8 = 5k + 2 + 8\)\( = 5k + 10 = 5\left( {k + 2} \right) > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số.

Nếu \(p = 5k + 3\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)\( \Rightarrow p + 12 = 5k + 3 + 12\)\( = 5k + 15 = 5\left( {k + 3} \right) > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số.

Nếu \(p = 5k + 4\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)\( \Rightarrow p + 6 = 5k + 4 + 6\)\( = 5k + 10 = 5\left( {k + 2} \right) > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số.

Vậy \(p = 5.\)

Chọn D.