Phương pháp giải:

- Đưa phương trình về dạng \(\left( C \right):_{}^{}{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.\)

- Xét dấu của biểu thức: \(P = {a^2} + {b^2} - c.\)

+) Nếu \(P > 0\) thì phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(R = \sqrt P  = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .\)

+) Nếu \(P \le 0\) thì phương trình không phải là phương trình đường tròn.

Lời giải chi tiết:

\(i)\) Phương trình \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 9 = 0\) có \(a =  - 1\); \(b = 2\); \(c = 9\)

Ta có: \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 1} \right)^2} + {2^2} - 9 =  - 4 < 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 9 = 0\) không phải là phương trình đường tròn.

\(ii)\) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y + 13 = 0\) có  \(a = 3{;^{}}b =  - 2{;^{}}c = 13\)

Ta có: \({a^2} + {b^2} - c = {3^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 13 = 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y + 13 = 0\) không phải là phương trình đường tròn.

\(iii)\) Phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} - 8x - 4y - 6 = 0\) đưa về dạng \({x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 3 = 0\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c =  - 3\end{array} \right\} \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {1^2} - \left( { - 3} \right) = 8 > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} - 8x - 4y - 6 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {2;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 \).

\(iv)\) Không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) khác nhau.

Vậy chỉ có 1 phương trình đường tròn.

Chọn  B.