Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} + 3x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' = 3{x^2} + 2mx + 3 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\,\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\Delta ' = {m^2} - 9 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 3\).

Vậy \(m \in \left[ { - 3;3} \right]\).

Chọn C.