Phương pháp giải:

Sử dụng bài toán phụ :

Cho tứ diện \(S.ABC\) có các điểm \(M,N,P\) lần lượt nằm trên các cạnh \(SA,SB,SC\) thỏa mãn \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = x,\dfrac{{SN}}{{SB}} = y,\dfrac{{SP}}{{SC}} = z\). Khi đó ,   \(\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = xyz\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và cắt các cạnh \(SA,SB,SC\) lần lượt tại \(A',B',C'\) nên có :

\(\dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)\( = \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}}\)

Ta có :

\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{1}{7} \Leftrightarrow \dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}} = \dfrac{1}{8}\)\( \Rightarrow \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}\)

\({S_{A'B'C'}} = {\left( {\dfrac{{A'B'}}{{AB}}} \right)^2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\)

Tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(a\) nên \({S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\)

\( \Rightarrow {S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{16}}{a^2}\)

Chọn A.