Phương pháp giải:

Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp như sau:

Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Qua tâm đường tròn đó, kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt đáy cắt mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì tại \(I\). Khi đó, \(I\) chình là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Tính bán kính \(R\) của khối chóp.

Diện tích mặt cầu có bán kính bằng \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(I\) là trung điểm của \(SC\).

\(ABCD\) là hình vuông nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại  tiếp hình vuông \(ABCD\) và \(O\) là trung điểm \(AC\) và \(BD.\)

\(OI\) là đường trung bình trong tam giác \(SAC\) nên \(OI//SA\) mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OI \bot \left( {ABCD} \right)\)

\(I\) nằm trên đường thẳng qua tâm \(O\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(IA = IB = IC = ID\)

Mặt khác tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có trung tuyến \(AI\) nên  \(IA = \dfrac{1}{2}SC = SI = IC\)

Suy ra \(IS = IA = IB = IC = ID\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ta có:

\(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = \sqrt 2 a\)

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) nên \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {6{a^2} + 2{a^2}}  = 2\sqrt 2 a\)

\( \Rightarrow R = \dfrac{1}{2}SC = \sqrt 2 a\)

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = 8\pi {a^2}\)

Chọn B.