Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) để tính độ dài đường cao \(h\) của khối chóp.

- Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng \(h,\) diện tích đáy bằng \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)

Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa  \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SB\) và \(BH\)

Suy ra   \(\widehat {SBH} = {45^0}\).

Tam giác \(SBH\) vuông tại H có \(\widehat {SBH} = 45^\circ ,\,\,\,SB = a\) nên \(SH = SB.\sin SBH = a.\sin 45^\circ  = \dfrac{{\sqrt 2 a}}{2}\).

Vậy thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.AB.BC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 2 a}}{2}.a.2a = \dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).

Chọn A.