Phương pháp giải:

- Tìm cực trị \({x_{CT}}\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\)  trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

- Tính các giá trị \(f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_{CT}}} \right)\) rồi so sánh các giá trị này để tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6x = 6x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} - 1\) trên \(\left[ { - \dfrac{1}{2};1} \right]\) có:

\(f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) =  - \dfrac{1}{2}\);  \(f\left( 1 \right) = 4\) và \(f\left( 0 \right) =  - 1\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 4\).

Chọn B.