Phương pháp giải:

- Tính khoảng cách từ G đến \(\left( {SAC} \right)\) thông qua tỉ số \(\dfrac{{d\left( {G;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{3}.\)

- Tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)\).

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính chiều cao hình chóp.

- Sử dụng công thức để tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow O\)là trung điểm của \(AC,\,\,BD\).

Vì \(\Delta SAC\), \(\Delta SBD\) cân tại \(S\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot AC\\SO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do \(ABCD\)là hình thoi có \(\angle ABC = 60^\circ \).

\( \Rightarrow AC = a;\,\,OD = OB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}DO \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\DO \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DO \bot \left( {SAC} \right)\).

Vì G là trọng tâm \(\Delta SAD\) nên \(\dfrac{{d\left( {G;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{3}.\)

\( \Rightarrow d\left( {G;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}DO = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Ta có: \(SO \bot AC\) (do \(\Delta SAC\) cân tại \(S\)).

Mà \(AC \bot BD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AC \bot SB.\)

Kẻ \(AH \bot SB\)ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow AH \bot HC \Rightarrow \Delta ACH\) vuông tại \(H\). Mà \(AH = HC\sqrt {S{A^2} - S{H^2}}  \Rightarrow \Delta ACH\)vuông cân tại \(H\).

\( \Rightarrow HO = \dfrac{{CA}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\,\,\left( {cach\,\,ve} \right)\\AC \bot SB\,\,\left( {AC \bot \left( {SBD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {AHC} \right) \Rightarrow SB \bot OH\).

Xét tam giác \(SBO\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\):

\(\dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAC}} = \dfrac{1}{2}SO.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{8}\).

Vậy \({V_{GSAC}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {G;\left( {SAC} \right)} \right).{S_{\Delta SAC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{8} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}.\)

Chọn A