Phương pháp giải:

Gọi \(x\) là số sách khối \(6\) đã đóng góp. \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\) 

Từ đề bài ta có  \(x\,\, \vdots \,\,10\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,12\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,18\) suy ra \(x \in BC\left( {10\, ;\,\,12\,;\,\,18} \right)\).

Tìm \(BCNN\left( {10\, ;\,\,12\,;\,\,18} \right)\)  bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố, sau đó tìm \(BC\left( {10\,  ;\,\,12\,;\,\,18} \right)\).

Kết hợp với điều kiện \(200 < {\rm{ }}x < 400\) để tìm \(x\) .

Lời giải chi tiết:

Gọi \(x\)  là số sách khối \(6\) đã đóng góp \(\left( {200 < {\rm{ }}x < 400,\,\,\,x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Vì xếp số sách đó thành từng bó \(10\) cuốn, \(12\) cuốn, \(18\) cuốn đều vừa đủ bó nên ta có \(x\,\, \vdots \,\,10\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,12\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,18\) suy ra \(x \in BC\left( {10\, ;\,\,12\,;\,\,18} \right)\).

Ta có: \(10\, = 2.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,12 = {2^2}.3\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,18 = {2.3^2}\)

\( \Rightarrow BCNN\left( {10\,  ;\,\,12\,;\,\,18} \right) = {2^2}{.3^2}.5 = 180\).

\( \Rightarrow BC\left( {10\, ;\,\,12\,;\,\,18} \right) = \left\{ {0\,;\,\,180\,;\,\,360\,;\,\,540\,;\,\,720\,;\,\,\,...} \right\}\)

Do đó: \(x \in \left\{ {\,180\,;\,\,360\,;\,\,540\,;\,\,720\,;\,\,\,...} \right\}\)

Lại có \(200 < x < 400\) nên \(x = 360\).

Vậy khối \(6\) đã đóng góp cho thư viện nhà trường \(360\) cuốn sách.

Chọn C.