Phương pháp giải:

+) Gọi \(d\) là ước chung của hai số đó và \(d\) là số nguyên tố.

+) Tìm điều kiện của \(n\) để \(d\) là những số nguyên tố khác \(1\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung của \(9n + 24\) và \(3n + 4\) và \(d\) là số nguyên tố.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9n + 24 \vdots d\\3n + 4 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1.\left( {9n + 24} \right) \vdots d\\3.\left( {3n + 4} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9n + 24 \vdots d\\9n + 12 \vdots d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {9n + 24} \right) - \left( {9n + 12} \right) \vdots d\)

\( \Rightarrow 9n + 24 - 9n - 12 \vdots d\)

\( \Rightarrow 12 \vdots d \Rightarrow d \in U\left( {12} \right)\)

Mà \(d\) là số nguyên tố nên \(d \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Để \(9n + 24\) và \(3n + 4\) là các số nguyên tố cùng nhau thì \(d = 1;\,\,d \ne 2,\,\,d \ne 3.\)

+) Để \(d \ne 2\) thì có ít nhất một trong hai số \(9n + 24\) và \(3n + 4\) không chia hết cho \(2\) khi đó có ít nhất một trong hai số \(9n + 24\) và \(3n + 4\) là số lẻ.

\(9n + 24\) lẻ khi và chỉ khi \(9n\) lẻ \( \Rightarrow \)\(n\) lẻ.

\(3n + 4\) lẻ khi và chỉ khi \(3n\) lẻ \( \Rightarrow \)\(n\) lẻ.

+) \(d \ne 3\) hiển nhiên vì \(3n + 4\) không chia hết cho \(3\).

Vậy với \(n\) là số tự nhiên lẻ thì \(9n + 24\) và \(3n + 4\) là các số nguyên tố cùng nhau.

Chọn A.