Phương pháp giải:

Để chứng minh là phân số tối giản ta chỉ cần chứng minh tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d = UCLN\left( {3n + 2,5n + 3} \right)\) với \(n \in \mathbb{N}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n + 2 \vdots d\\5n + 3 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5.\left( {3n + 2} \right) \vdots d\\3.\left( {5n + 3} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}15n + 10 \vdots d\\15n + 9 \vdots d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right) \vdots d\)

\( \Rightarrow 15n + 10 - 15n - 9 \vdots d\)

\( \Rightarrow 1 \vdots d\)

\( \Rightarrow d \in U\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\}\)

\( \Rightarrow d = 1\)

Suy ra, \(3n + 2\) và \(5n + 3\) là hai số nguyên cùng nhau.

Vậy \(\frac{{3n + 2}}{{5n + 3}}\) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên \(n\).