Phương pháp giải:

+) Tính chất chẵn lẻ của một số nguyên tố.

+) Số \(2\) là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(p\) là số nguyên tố nên ta xét:

TH1: \(p < 3 \Rightarrow p = 2.\)

Ta có: \({p^2} + 2 = {2^2} + 2 = 8\) là hợp số (mâu thuẫn với đề bài).

\( \Rightarrow p = 2\) không thỏa mãn.

TH2: \(p = 3 \Rightarrow {p^2} + 2 = {3^2} + 2 = 11\) là số nguyên tố.

\( \Rightarrow {p^3} + 2 = {3^3} + 2 = 29\) là số nguyên tố.

Vậy \(p = 3\) thỏa mãn trường hợp \(p,\,\,{p^2} + 2\) là các số nguyên tố thì \({p^3} + 2\) cũng là số nguyên tố.

TH3: \(p > 3 \Rightarrow p = 3k + 1\) hoặc \(p = 3k + 2.\)  

+) Với \(p = 3k + 1\) ta có:

\({p^2} + 2\) cũng là số nguyên tố \( \Rightarrow {\left( {3k + 1} \right)^2} + 2 = 9{k^2} + 6k + 1 + 2 = 9{k^2} + 6k + 3\,\, \vdots \,\,2\)

\( \Rightarrow \) Trường hợp \(p = 3k + 1\) không thỏa mãn bài toán.

+)  Với \(p = 3k + 2\) ta có:

\({p^2} + 2 = {\left( {3k + 2} \right)^2} + 2 = 9{k^2} + 12k + 4 + 2 = 9{k^2} + 12k + 6\,\, \vdots \,\,3\)

\( \Rightarrow p > 3\) không có trường hợp nào thỏa mãn.

Vậy \(p,\,\,{p^2} + 2\) là số nguyên tố thi \({p^3} + 2\) cũng là số nguyên tố.