Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

Với  \(k \in \mathbb{N}\) thì \(k\)  có dạng: \(3t,\,\,\,3t + 1,\,\,3t + 2\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)

Nếu \(k = 3t\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow k + 99 = 3t + 99 = 3\left( {t + 33} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Nếu \(k = 3t + 1\,\,\left( {t \in N} \right) \Rightarrow k + 77 = 3t + 1 + 77 = 3t + 78 = 3\left( {t + 26} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Nếu \(k = 3t + 2\left( {t \in N} \right) \Rightarrow k + 1 = 3t + 2 + 1 = 3t + 3 = 3\left( {t + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Do đó trong ba số \(k + 1,\,\,\,k + 77,\,\,\,k + 99\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) luôn có một số chia hết cho \(3\)

Khi đó, để  \(k + 1,\,\,k + 77,\,\,k + 99\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) cùng là số nguyên tố thì phải có một số bằng 3

Mà \(3 < k + 77 < k + 99 \Rightarrow k + 1 = 3 \Rightarrow k = 2\)

Thử lại \(k = 2 \Rightarrow k + 1 = 3,\,\,k + 77 = 79,\,\,k + 99 = 101\) đều là số nguyên tố.

Vậy \(k = 2.\)

Chọn B.