Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm số nguyên tố:

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

a) +) Với \(p = 2\)

\( \Rightarrow p + 2 = 2 + 2 = 4\) (loại vì 4 là hợp số)

\(p + 4 = 2 + 4 = 6\) (loại vì 6 là hợp số)

  +) Với \(p = 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow p + 2 = 3 + 2 = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,p + 4 = 3 + 4 = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

  +) Với \(p > 3 \Rightarrow p\) có dạng: \(p = 3k + 1;p = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

-          Với \(p = 3k + 1\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)

\( \Rightarrow p + 2\) là hợp số (loại)

-          Với  \(p = 3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3\left( {k + 2} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)

\(p + 4\) là hợp số (loại)

Vậy \(p = 3.\)

b) Số nguyên tố lớn hơn \(3\) sẽ có dạng:  \(3k + 1;\,\,\,3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

+) Nếu \(p = 3k + 1 \Rightarrow p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right)\) là số nguyên tố (Vô lý vì  \(3\left( {k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên là hợp số)

\( \Rightarrow p = 3k + 1\) loại.

\( \Rightarrow \) p phải có dạng \(3k + 2\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) (Thật vậy, \(p + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 = 3\left( {k + 1} \right) + 1\) là số nguyên tố)

\( \Rightarrow p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Mặt khác: p là 1 số nguyên tố lớn hơn 3 cũng như  lớn hơn 2 nên p phải là 1 số nguyên tố lẻ

\( \Rightarrow p + 1\) là một số chẵn.

 \( \Rightarrow p + 1\,\, \vdots \,\,2\)

Mà \(\left( {3;2} \right) = 1 \Rightarrow p + 1 \vdots 6\)  (Đpcm)

Chọn B.