Lời giải chi tiết:

Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABC nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) (do chóp S.ABCD đều)

\( \Rightarrow OA\) là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;OA} \right)} = \widehat {SAO} = \alpha \)

Xét tam giác vuông SOA có: \(SO = SA.\sin \alpha  = b\sin \alpha ;\) \(OA = SA.c{\rm{os}}\alpha  = b\cos \alpha \)

\( \Rightarrow AD = \dfrac{3}{2}OA = \dfrac{3}{2}b.c{\rm{os}}\alpha \)

Ta có: \(AD = AB\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AB = \dfrac{{2AD}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 .b.c{\rm{os}}\alpha \)

Khi đó \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 {b^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{4}\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}SA.\sin \alpha .\dfrac{{3\sqrt 3 S{A^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{4}\) \( = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}\sin \alpha {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \)

Chọn B.