Câu hỏi
Cho hình chóp đều S.ABC có \(SA = 6a;AB = 3a\). Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho \(MS = \dfrac{1}{2}MC\). Thể tích khối chóp M.ABC là:
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{2}\)
- B \({a^3}\sqrt {11} \)
- C \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt {11} }}{2}\)
- D \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{3}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC; D là trung điểm của BC
Vì chóp S.ABC đều nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Tam giác ABC đều nên \(AD = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD = a\sqrt 3 \)
\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH \Rightarrow \Delta SAH\) vuông tại H \( \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {36{a^2} - 3{a^2}} = a\sqrt {33} \)
Ta có: \(MS \cap \left( {ABC} \right) = C\)\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MC}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}\)
\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}SH = \dfrac{2}{3}a\sqrt {33} \)
\({S_{ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Vậy \({V_{M.ABCD}} = \dfrac{1}{3}d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}\dfrac{2}{3}a\sqrt {33} .\dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt {11} }}{2}\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
