Lời giải chi tiết:

Cách 1:

+ Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right);\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m(*)\end{array} \right.\)

+ Để hàm số có 3 điểm cực trị thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Leftrightarrow m > 0\,\,\left( 1 \right)\)

+ Khi đó ta gọi 3 điểm cực trị của hàm số là:

\(A\left( {0;2m + {m^4}} \right),\,\,B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 2m + {m^4}} \right),\,\,C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 2m + {m^4}} \right)\)

+ Gọi \(H\left( {0; - {m^2} + 2m + {m^4}} \right)\) là trung điểm của \(BC\)

+ Do \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\) nên để \(ABC\) là tam giác đều thì \(AH = BC.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - {m^2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {{{\left( {\sqrt m  + \sqrt m } \right)}^2}}  \Leftrightarrow {m^2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.2\sqrt m  \Leftrightarrow {m^4} = 3m \Leftrightarrow {m^3} = 3 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}\,\,\left( {tm} \right)\).

Chọn A.

Cách 2: Dùng luôn công thức

+ Đề hàm số có 3 cực trị \( \Leftrightarrow ab < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - 2m} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 0\)

+ Tạo thành tam giác đều\( \Rightarrow {b^3} =  - 24{\rm{a}}\) (Tra công thức trong bảng công thức nhanh)

                                          \( \Leftrightarrow {\left( { - 2m} \right)^3} =  - 24 \Leftrightarrow  - 8{m^3} =  - 24 \Leftrightarrow {m^3} = 3 \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}\)

Chọn A.