Phương pháp giải:

B1:  Tìm tọa độ các đỉnh \(A;\,\,B;\,\,C\)  của \(\Delta ABC.\)

B2: Sử dụng công thức: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {A;\,\,BC} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 4 = 0\\x + 2y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{4}{7}\\y = \frac{{16}}{7}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - \frac{4}{7};\,\,\frac{{16}}{7}} \right).\)

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 4 = 0\\2x + 3y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{10}}{{11}}\\y = \frac{{14}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - \frac{{10}}{{11}};\,\,\frac{{14}}{{11}}} \right).\)

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 4 = 0\\2x + 3y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 8\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 8;\,\,6} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( { - \frac{{78}}{{11}};\,\,\frac{{52}}{{11}}} \right) \Rightarrow BC = \frac{{26\sqrt {13} }}{{11}}.\)

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {A;\,\,BC} \right).BC.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{{\left| {2.\left( { - \frac{4}{7}} \right) + 3.\frac{{16}}{7} - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }}.\frac{{26\sqrt {13} }}{{11}}\\ \Leftrightarrow {S_{ABC}} = \frac{{26}}{{2.7\sqrt {13} }}.\frac{{26\sqrt {13} }}{{11}} = \frac{{338}}{{77}}.\end{array}\)

Chọn  C.