Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của các đường cao của tam giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(BM \cap AB = \left\{ B \right\} \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\3x - 4y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 2; - 1} \right).\)

Vì \(C \in {d_2}:\,\,4x + 3y - 10 = 0 \Rightarrow C\left( {c;\,\frac{{10 - 4c}}{3}} \right).\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(BM\) và \(CN.\) Khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\4x + 3y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{20}}{{11}}\\y = \frac{{10}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{20}}{{11}};\,\,\frac{{10}}{{11}}} \right).\\ \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {c + 2;\,\,\frac{{13 - 4c}}{3}} \right);\,\,\,\overrightarrow {AH}  = \left( { - \frac{2}{{11}};\, - \frac{{12}}{{11}}} \right).\end{array}\)

Vì \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC \Rightarrow AH \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - \frac{2}{{11}}\left( {c + 2} \right) - \frac{{12}}{{11}}.\frac{{13 - 4c}}{3} = 0\\ \Leftrightarrow c + 2 + 2\left( {13 - 4c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 7c = 28\\ \Leftrightarrow c = 4\\ \Rightarrow C\left( {4;\,\, - 2} \right).\end{array}\)

Chọn A.