Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow \) tọa độ điểm \(G\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1;\,\,1} \right).\)

Gọi \(E\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Khi đó theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AE}  \Leftrightarrow \left( {0;\, - 2} \right) = \frac{2}{3}\left( {{x_0} - 1;\,\,{y_0} - 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 0\\\frac{2}{3}\left( {{y_0} - 3} \right) =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 0\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {1;\,\,0} \right).\\B \in BM:\,\,x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow B\left( {2{y_B} - 1;\,\,{y_B}} \right).\\C \in CN:\,\,\,y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {{x_C};\,\,1} \right).\end{array}\)

Vì \(E\left( {1;\,\,0} \right)\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} + 2{y_B} - 1 = 2.1\\{y_B} + 1 = 2.0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 5\\{y_B} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 3; - 1} \right)\\C\left( {5;\,\,1} \right)\end{array} \right..\)

Chọn  C.