Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tam giác vuông cân và đường trung trực để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(B \in \Delta :\,\,\,3x + y - 4 = 0 \Rightarrow B\left( {b;\,\,4 - 3b} \right).\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow M\left( {\frac{{b + 3}}{2};\,\frac{{\,3 - 3b}}{2}} \right).\)

Lại có: \(M \in d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{b + 3}}{2} - 3 + 3b + 5 = 0\\ \Leftrightarrow b + 3 - 6 + 6b + 10 = 0\\ \Leftrightarrow b =  - 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1;\,\,7} \right)\\M\left( {1;\,\,3} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Ta có: \(C \in d \Rightarrow C\left( {2c - 5;\,\,c} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CA}  = \left( {8 - 2c;\,\, - 1 - c} \right)\\\overrightarrow {CB}  = \left( {4 - 2c;\,\,7 - c} \right)\end{array} \right.\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại\(C \Rightarrow \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {8 - 2c} \right)\left( {4 - 2c} \right) - \left( {1 + c} \right)\left( {7 - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 32 - 16c - 8c + 4{c^2} - 7 + c - 7c + {c^2} = 0\\ \Leftrightarrow 5{c^2} - 30c + 25 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1 \Rightarrow C\left( { - 3;\,\,1} \right)\\c = 5 \Rightarrow C\left( {5;\,\,5} \right)\end{array} \right.\end{array}\) 

Chọn  D.