Phương pháp giải:

Sử dụng \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C\)

Và các công thức nguyên hàm \(\int {\cos axdx}  = \dfrac{1}{a}\sin ax + C;\,\int {\sin axdx}  =  - \dfrac{1}{a}\cos ax + C;\) \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\)

Sử dụng \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) với \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {2{{\cos }^2}x + 3} \right){\rm{d}}x = } \int {\left( {4 + \cos 2x} \right){\rm{d}}x} \)\( = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4x + C\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4x + C\).

Lại có \(f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4x + 4\).

Vậy \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + 4x + 4} \right)} {\rm{d}}x\)\( = \left. {\left( { - \dfrac{1}{4}{\rm{cos2}}x + 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi  + 2}}{8}\)

Chọn C.