Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = 3 - \sqrt {4 - {x^2}} \).

- Nhận xét số nghiệm của phương trình ẩn \(t\) với số nghiệm của phương trình ẩn \(x\) suy ra điều kiện tương đương phương trình ẩn \(t\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 3 - \sqrt {4 - {x^2}} \) \( \Rightarrow 3 - t = \sqrt {4 - {x^2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{x^2} = 4 - {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{x^2} = \left( {t - 1} \right)\left( {5 - t} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow 1 \le t \le 3\)

Nhận thấy với \(t = 1\) thì \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hay với \(t = 1\) thì ta chỉ tìm được đúng một nghiệm \(x\) (loại)

Với \(1 < t \le 3\) thì \({x^2} > 0\) nên ta sẽ tìm được hai giá trị của \(x\) đối nhau.

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]\) thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt đối nhau thuộc \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) và \(x \ne 0\).

Dễ thấy \(x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow {x^2} \in \left( {0;2} \right] \Rightarrow 4 - {x^2} \in \left[ {2;4} \right)\)

\( \Rightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right) \Rightarrow 3 - \sqrt {4 - {x^2}}  \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow t \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right] \Rightarrow f\left( t \right) \in \left( {f\left( 1 \right);f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]\) vì \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]\) thì phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm duy nhất \(t \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow m = f\left( t \right) \in \left( {f\left( 1 \right);f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right] = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]\).

Vậy \(S = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]\).

Chọn A.