Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {z + 1 - i} \right)\left( {\overline z  - i} \right) = \left( {a + bi + 1 - i} \right)\left( {a - bi - i} \right)\\ = \left[ {\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right]\left[ {a - \left( {b + 1} \right)i} \right]\\ = a\left( {a + 1} \right) + \left( {{b^2} - 1} \right) + \left[ {a\left( {b - 1} \right) - \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} \right]i\end{array}\)

là số thực \( \Rightarrow a\left( {b - 1} \right) - \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ab - a - ab - a - b - 1 = 0 \Leftrightarrow 2a + b + 1 = 0\).

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn hình học của \(z\) là đường thẳng \(2x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow y =  -2 x - 1\) có hệ số góc \(k =  - 2\).

Chọn C.