Lời giải chi tiết:

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

\(\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow AB = 5\,\,\,\left( {cm} \right)\).

+) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC với AH là đường cao ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{5^2}}} = \frac{{16}}{{225}} \Rightarrow AC = \frac{{15}}{4}\left( {cm} \right)\)

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {\left( {\frac{{15}}{4}} \right)^2} = \frac{{625}}{{16}} \Rightarrow BC = \frac{{25}}{4}\left( {cm} \right)\).

+) Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM nên ta có: \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{25}}{8}\,\,\,\left( {cm} \right)\)

+) Diện tích tam giác ABC với AH là đường cao ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.3.\frac{{25}}{4} = \frac{{75}}{8}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Vậy \(AB = 5cm,\,\,AC = \frac{{15}}{4}cm,\,\,AM = \frac{{25}}{8}cm,\,\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{{75}}{8}\,\,c{m^2}\)

Chọn A.