Phương pháp giải:

+) Xác định giao điểm của trục của mặt đáy và mặt phẳng trung trực của 1 mặt bên, chứng minh giao điểm đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

+) Sử dụng tỉ lệ của tam giác đồng dạng tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\).

Trong \(\left( {SOA} \right)\) kẻ \(IM \bot SA\,\,\left( {I \in SO} \right)\) ta có \(IS = IA\).

Lại có \(I \in SO \Rightarrow IA = IB = IC \Rightarrow IA = IB = IC = IS \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \( \Rightarrow AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác vuông \(SOA:\,\,SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Dễ thấy \(\Delta SOA \sim \Delta SMI\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{{SM}}{{SO}} \Rightarrow SI = \dfrac{{SA.SM}}{{SO}} = \dfrac{{a.\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Vậy \(R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

Chọn C