Phương pháp giải:

Đổi biến, đặt \(t = \sqrt x \).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt x  \Leftrightarrow dt = \dfrac{{dx}}{{2\sqrt x }}\). Đổi cận:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 4 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}{{\left( {\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}}} \right)}^2}dx}  = \int\limits_1^2 {{{\left( {\dfrac{{t + 2}}{{t + 1}}} \right)}^2}dt}  = \int\limits_1^2 {{{\left( {1 + \dfrac{1}{{t + 1}}} \right)}^2}dt} \\ = \int\limits_1^2 {\left[ {1 + \dfrac{2}{{t + 1}} + \dfrac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} \right]dt}  = \left. {\left( {t + 2\ln \left| {t + 1} \right| - \dfrac{1}{{t + 1}}} \right)} \right|_1^2\\ = 2 + 2\ln 3 - \dfrac{1}{3} - 1 - 2\ln 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{6} + 2\ln \dfrac{3}{2} = \dfrac{a}{b} + 2\ln \dfrac{c}{d}\\ \Rightarrow a = 7;\,\,b = 6;\,\,c = 3;\,\,d = 2 \Rightarrow a + b + c + d = 7 + 6 + 3 + 2 = 18\end{array}\)

Chọn B