Phương pháp giải:

Đặt \(t = x + m\) từ đó lập luận để \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {m;2 + m} \right)\).

Lưu ý: Nếu \(f'\left( x \right) > 0\) trên \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = x + m\) . Để \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\) thì hàm số \(f\left( {x + m} \right)\) hay \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {m;2 + m} \right)\)

Từ BBT và theo đề bài \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì ta có \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;3} \right)\)

 Nên để \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {m;2 + m} \right)\) thì

\(\left( {m;2 + m} \right) \subset \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow 1 \le m < m + 2 \le 3 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 1\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\)

Chọn A.