Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\,\,\,\,\\\sin 2x = 2\sin x\cos x\\\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\\\sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\end{array} \right.\)

Sử dụng công thức nguyên hàm \(\int {\frac{1}{u}du}  = \ln \left| u \right| + C\)  và công thức vi phân \(d\left( {f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right)dx\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt {1 + \sin 2x} }}dx = } \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x.\cos x} }}dx = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} }}dx} } \\ = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx}  =  - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}}  =  - \left. {\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\\ =  - \ln 1 + ln\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \ln \sqrt 2  = \frac{1}{2}\ln 2.\end{array}\)

Suy ra \(a = 1;b = 2;c = 2 \Rightarrow a + 2b + 3c = 1 + 2.2 + 3.2 = 11.\)

Chọn D.