Câu hỏi
Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của lon bằng bao nhiêu (kết quả dưới dạng số thập phân, làm tròn đến hàng phần trăm) khi ta muốn có thể tích của lon là \(330\,\,c{m^3}\)?
- A \({S_{tp}} = 269,36\,\,c{m^2}\)
- B \({S_{tp}} = 266,36\,\,c{m^2}\)
- C \({S_{tp}} = 264,36\,\,c{m^2}\)
- D \({S_{tp}} = 262,36\,\,c{m^2}\)
Phương pháp giải:
+) Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ là \(R;h\). Rút \(h\) theo \(R\) bằng cách sử dụng công thức \(V = \pi {R^2}h\).
+) Công thức tính diện tích toàn phần \({S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh\). Sử dụng BĐT Cô-si.
Lời giải chi tiết:
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ là \(R;h\) ta có: \(V = \pi {R^2}h = 330 \Leftrightarrow {R^2}h = \dfrac{{330}}{\pi } \Rightarrow h = \dfrac{{330}}{{\pi {R^2}}}\).
Diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của lon bằng \({S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + 2\pi R.\dfrac{{330}}{{\pi {R^2}}}\)
\({S_{tp}} = 2\pi {R^2} + \dfrac{{660}}{R} = 2\pi {R^2} + \dfrac{{330}}{R} + \dfrac{{330}}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{{330}}{R}.\dfrac{{330}}{R}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{{330}}{R}.\dfrac{{330}}{R}}} \approx 264,36\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2\pi {R^2} = \dfrac{{330}}{R} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{{165}}{\pi } \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{{165}}{\pi }}}\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
