Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r\), đường sinh \(l\) là \({S_{xq}} = \pi rl\).

Thể tích khôi nón có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S \Rightarrow \angle SBA = {45^0} \Rightarrow \Delta SOB\) vuông cân tại \(O\).

Đặt \(OB = r \Rightarrow SB = r\sqrt 2 ;\,\,SO = r\).

Khi đó ta có \({S_{xq}} = \pi OB.SB = \pi .r.r\sqrt 2  = 4\sqrt 2 \pi  \Leftrightarrow {r^2} = 4 \Leftrightarrow r = 2\).

Vậy thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi O{B^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.2 = \frac{{8\pi }}{3}\).

Chọn A.