Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) 

+) Khi đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\, \notin \,\left[ {1;\,4} \right]\\x = 2\,\, \in \left[ {1;\,\,4} \right]\end{array} \right.\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = 0\\f\left( 4 \right) = 20\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {Max}\limits_{\left[ {1;\,\,4} \right]} f\left( x \right) = 20\\m = \mathop {Min}\limits_{\left[ {1;\,\,4} \right]} f\left( x \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow M + m = 20.\)

Chọn  C.