Phương pháp giải:

Khối nón có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\) và đường sinh \(l\) thì có diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi rl\), diện tích toàn phần \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\), thể tích \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\) và mối liên hệ \({l^2} = {h^2} + {r^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Khối nón có bán kính đáy \(r\), chiều cao \(h\) và đường sinh \(l\) thì có diện tích xung quanh

\({S_{xq}} = \pi rl = 6\pi  \Leftrightarrow r.l = 6\pi \)

Và diện tích toàn phần \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = 6\pi  + \pi {r^2} = 10\pi  \Leftrightarrow \pi {r^2} = 4\pi  \Rightarrow r = 2.\)

Mà \(r.l = 6\left( {cmt} \right) \Rightarrow l = \dfrac{6}{2} = 3\), từ đó chiều cao \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt 5 .\)

Thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.\sqrt 5  = \dfrac{{4\pi \sqrt 5 }}{3}.\)

Chọn C