Phương pháp giải:

Xác định tọa độ 2 điểm cực trị, và phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Từ đó, xác định công thức tính diện tích tam giác OAB theo tham số \(m.\)

Lời giải chi tiết:

\(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3{m^3} \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\,,\,\,\left( {m > 0} \right)\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ hai điểm cực trị: \(A\left( {0;3{m^3}} \right),B\left( {2m; - {m^3}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}} \)

Ta có: \(y = y'.\left( {\frac{1}{3}x - \frac{m}{3}} \right) - 2mx + 3{m^3}\,\,\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: \(y =  - 2{m^2}x + 3{m^3} \Leftrightarrow 2{m^2}x + y - 3{m^3} = 0\)

\( \Rightarrow d\left( {O;AB} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 - 3{m^3}} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }} = \frac{{\left| {3{m^3}} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }}\)

Diện tích tam giác OAB là:

\(S = \frac{1}{2}.\frac{{\left| {3{m^3}} \right|}}{{\sqrt {4{m^4} + 1} }}.\sqrt {4{m^2} + 16{m^6}}  = 48 \Rightarrow \frac{1}{2}.\left| {3{m^3}} \right|.\left| {2m} \right| = 48 \Leftrightarrow {m^4} = 16 \Leftrightarrow m =  \pm 2\)

Tổng hai giá trị của \(m\) là: \( - 2 + 2 = 0.\)

Chọn: C