Phương pháp giải:

Để tìm GTNN, GTLN của hàm số \(f\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), ta làm như sau:

- Tìm các điểm \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số \(f\) có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

- Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);\,\,f\left( a \right);\,f\left( b \right)\)

- So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\); số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của \(f\) trên  \(\left[ {a;b} \right]\).

Lời giải chi tiết:

\(y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 4x + 1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) =  - 3\\f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{31}}{{27}}\\f\left( 1 \right) = 1\,\end{array} \right.\, \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \frac{{31}}{{27}}\).

Chọn: A