Phương pháp giải:

- Tách tích phân đã cho thành hai tích phân nhỏ.

- Tính mỗi tích phân này bằng phương pháp từng phần.

Từ đó suy ra tích phân cần tính giá trị và suy ra \(a,b\).

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_0^3 {\left[ {2x\ln \left( {x + 1} \right) + xf'\left( x \right)} \right]dx = 0} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {\left[ {2x\ln \left( {x + 1} \right)} \right]dx}  + \int\limits_0^3 {xf'\left( x \right)dx}  = 0\)

+) Tính \(I = \int\limits_0^3 {\left[ {2x\ln \left( {x + 1} \right)} \right]dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 1} \right)\\dv = 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{x + 1}}\\v = {x^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^3 - \int\limits_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx}  = 9\ln 4 - \int\limits_0^3 {\left( {x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = 18\ln 2 - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^3 = 18\ln 2 - \frac{3}{2} - \ln 4 = 16\ln 2 - \frac{3}{2} \Rightarrow I = 16\ln 2 - \frac{3}{2}\end{array}\) 

+) Tính \(J = \int\limits_0^3 {xf'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow J = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 3f\left( 3 \right) - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).

\( \Rightarrow I + J = 0 \Leftrightarrow 16\ln 2 - \frac{3}{2} + 3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 0 \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 16\ln 2 - \frac{3}{2} + 3 = \frac{{3 + 32\ln 2}}{2}\).

Do đó \(a = 3,b = 32 \Rightarrow a + b = 35\).

Chọn A.