Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

+) Ta có:

\(y = \sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 2}} - \sqrt {4{x^2} + 3x + 2}  + mx\, = \sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 2}} - x + 2x - \sqrt {4{x^2} + 3x + 2}  + \left( {m - 1} \right)x\)

   \(\begin{array}{l} = \dfrac{{{x^3} + 3{x^2} + 2 - {x^3}}}{{\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 2}}} \right)}^2} + x\sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 2}} + {x^2}} \right)}} + \dfrac{{4{x^2} - \left( {4{x^2} + 3x + 2} \right)}}{{\left( {2x + \sqrt {4{x^2} + 3x + 2} } \right)}} + \left( {m - 1} \right)x\\ = \dfrac{{3{x^2} + 2}}{{\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 2}}} \right)}^2} + x\sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 2}} + {x^2}} \right)}} - \dfrac{{3x + 2}}{{\left( {2x + \sqrt {4{x^2} + 3x + 2} } \right)}} + \left( {m - 1} \right)x\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\dfrac{{3 + \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}} + 1} \right)}} - \dfrac{{3 + \dfrac{2}{x}}}{{\left( {2 + \sqrt {4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right)}} + \left( {m - 1} \right)x} \right]\)

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\dfrac{{3 + \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}} + 1} \right)}} - \dfrac{{3 + \dfrac{2}{x}}}{{\left( {2 + \sqrt {4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right)}}} \right] = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\)

và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {m - 1} \right)x = \infty \) với \(m \ne 1\)

Với \(m \ne 1\) thì \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \infty \).

Với \(m = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có TCN là \(y = \dfrac{1}{4}\).

+) \(y = \sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 2}} - \sqrt {4{x^2} + 3x + 2}  + mx\, = \sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 2}} - x + \left( {m + 1} \right)x - \sqrt {4{x^2} + 3x + 2} \)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{3 + \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}} + 1} \right)}} = 1\)

Với \(m \ge  - 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\left( {m + 1} \right)x - \sqrt {4{x^2} + 3x + 2} } \right) =  - \infty \)

Với \(m <  - 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}{x^2} - \left( {4{x^2} + 3x + 2} \right)}}{{\left( {\left( {m + 1} \right)x + \sqrt {4{x^2} + 3x + 2} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {{m^2} + 2m - 3} \right){x^2} - 3x - 2}}{{\left( {m + 1} \right)x + \sqrt {4{x^2} + 3x + 2} }}\)

- Với \(m =  - 3\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - 3x - 2}}{{ - 2x + \sqrt {4{x^2} + 3x + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{3 + \dfrac{2}{x}}}{{2 + \sqrt {4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{3}{4}\), khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}\)

Đồ thị hàm số có TCN là \(y = \dfrac{7}{4}\).

- Với \(m \ne  - 3\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {{m^2} + 2m - 3} \right){x^2} - 3x - 2}}{{\left( {m + 1} \right)x + \sqrt {4{x^2} + 3x + 2} }} = \infty \)

Vậy, tập các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có TCN là \(\left\{ {1; - 3} \right\}\). Tổng các giá trị đó là: \(1 + \left( { - 3} \right) =  - 2\).

Chọn: A