Phương pháp giải:

Điểm \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right..\)

Từ đó tìm \(y_{CT}=y(x_0).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = \sqrt 3  - 2\sin x\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \dfrac{1}{2}\\\cos x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3}\\x = \dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\).

\(f''\left( x \right) =  - 2\cos x\)

Nhập hàm \(f''\left( x \right) =  - 2\cos x\) vào máy tính và thử với các giá trị: \(x = \dfrac{\pi }{3};\,x = \dfrac{{2\pi }}{3}\)

ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}f''\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) =  - 1 < 0\\f''\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = 1 > 0\end{array} \right.\).⇒ \(\,f\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{2\pi }}{{\sqrt 3 }} - 1\)

Vậy hàm số đạt cực tiểu khi \(x = \dfrac{{2\pi }}{3}\) và \({y_{CT}} = \dfrac{{2\pi }}{{\sqrt 3 }} - 1\).

Chọn B.