Phương pháp giải:

+) Hàm số có duy nhất một cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình \(g'(x) =0\) có nghiệm duy nhất.

+) Khi đó \(f'\left( x \right) + m = 0\) có nghiệm duy nhất.

+) Dựa vào đồ thị hàm số của hàm \(y=f(x)\) để biện luận khoảng của \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(g\left( x \right)\) có duy nhất một cực trị \( \Leftrightarrow \) pt \(g'\left( x \right) = 0\) có duy nhất một nghiệm.

Theo đề bài ta có: \(g'\left( x \right) = f\left( x \right) + m\)\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) + m = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - m\)

\( \Rightarrow \) Số nghiệm của pt \(g'\left( x \right) = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng\(y =  - m\).

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại một điểm duy nhất

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m < 0\\ - m > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 4\end{array} \right.\).

Chọn C.