Phương pháp giải:

- Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

- Cô lập m.

Lời giải chi tiết:

Có \(y' = \dfrac{{\left( {2x + 5} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} + 5x + {m^2} + 6} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 6x + 9 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

Hàm số y liên tục trên (1; +∞) nên nếu y đồng biến trên (1;+∞) thì

\(y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow {m^2} \le {x^2} + 6x + 9,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) (*)

Xét hàm số f (x) = x² + 6x + 9 liên tục trên [1;+∞) , có f’(x) = 2x + 6 > 0 ∀ x ∈ [1;+∞) nên f(x) ≥ f(1) = 16, ∀x ∈ [1;+∞); f(x) = 16 ⇔ x = 1

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {m^2} \le 16 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) (do m nguyên dương)

Thử lại nếu m ∈ {1;2;3;4} thì y’ > 0 ∀ x ∈ (1;+∞) nên y đồng biến trên (1;+∞)

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn

Chọn A