Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  \pm \infty .\)

Hay \(x=a\) là nghiệm của mẫu số và không là nghiệm của tử số.

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) =  b .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {m + \dfrac{{3m}}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{x + 2}} =  \pm \sqrt m \)

Đặt \(f\left( x \right) = m{x^2} + 3mx + 1\)

Để hàm số có 3 tiệm cận thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( { - 2} \right) \ge 0}\\{m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4m - 6m + 1 \ge 0}\\{m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le \frac{1}{2}}\\{m > 0}\end{array}} \right.\)

Thử lại khi \(m = \dfrac{1}{2}\) ta có \(y = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{3}{2}x + 1} }}{{x + 2}}\) có hai TCN là \(y =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) và 1 TCĐ \(x=-2\) (tm)

Vậy \(0 < m \le \dfrac{1}{2}\).

Chọn B.