Phương pháp giải:

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) =  b .\)

Lời giải chi tiết:

Để hàm số có 2 tiệm cận ngang thì phải tồn tại các giới hạn hữu hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y\)

Khi m < 0 ⇒ không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y\). Khi m = 0 ⇒ y = x + 1 ⇒ Hàm số không có tiệm cận

Khi m > 0:

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{\sqrt {m + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt m }}\)

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{ - \sqrt {m + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} =  - \dfrac{1}{{\sqrt m }}\)

Khi đó hiển nhiên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y\). Hàm số có 2 tiệm cận ngang.

Vậy \(m > 0\).

Chọn D.